Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & - 5 \\ - 1 & - 3 & - 4 \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 5 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & - 5 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 5 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 4 & - 5 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & - 5 \\ - 3 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 5 \\ - 1 & - 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & - 5 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 (3 \cdot - 4 - (- 3 \cdot - 5)) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 5 \\ - 1 & - 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$- 1 (- 12 - (- 3 \cdot - 5)) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 5 \\ - 1 & - 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- (- 3 \cdot - 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica $- 3$ per $- 5$ .

$- 1 (- 12 - 1 \cdot 15) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 5 \\ - 1 & - 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$- 1 (- 12 - 15) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 5 \\ - 1 & - 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $15$ da $- 12$ .

$- 1 \cdot - 27 - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 5 \\ - 1 & - 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} 4 & - 5 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 \cdot - 27 - 1 (4 \cdot - 4 - - - 5) + 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$- 1 \cdot - 27 - 1 (- 16 - - - 5) + 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- - - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$- 1 \cdot - 27 - 1 (- 16 - 1 \cdot 5) + 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 1 \cdot - 27 - 1 (- 16 - 5) + 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $5$ da $- 16$ .

$- 1 \cdot - 27 - 1 \cdot - 21 + 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$ .

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Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 \cdot - 27 - 1 \cdot - 21 + 1 (4 \cdot - 3 - (- 1 \cdot 3))$

Passaggio 4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$- 1 \cdot - 27 - 1 \cdot - 21 + 1 (- 12 - (- 1 \cdot 3))$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- (- 1 \cdot 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 1 \cdot - 27 - 1 \cdot - 21 + 1 (- 12 - - 3)$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$- 1 \cdot - 27 - 1 \cdot - 21 + 1 (- 12 + 3)$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 12$ e $3$ .

$- 1 \cdot - 27 - 1 \cdot - 21 + 1 \cdot - 9$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 27$ .

$27 - 1 \cdot - 21 + 1 \cdot - 9$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 21$ .

$27 + 21 + 1 \cdot - 9$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$27 + 21 - 9$

Passaggio 5.2

Somma $27$ e $21$ .

$48 - 9$

Passaggio 5.3

Sottrai $9$ da $48$ .

$39$